Гомотетия с центром O и коэффициентом k ≠ 0 задаёт для каждой точки A образ A′ по правилу OA′ = k·OA в векторной форме.
При 0 < k < 1 фигура уменьшается. Образ каждой вершины лежит между центром и исходной вершиной; длины умножаются на k.
Например, k = ⅓ означает, что каждая сторона становится втрое короче. Коэффициент относится ко всем длинам одновременно.
Пример: уменьшение втрое
A = (−4; 6), B = (8; 6), C = (8; 0). Образ: A′ = (12; 10), B′ = (16; 10), C′ = (16; 8).
BC = 6, а B′C′ = 2. Получаем 2 / 6 = ⅓. Для обратного преобразования нужен коэффициент 3.
Отрицательный коэффициент
При k < 0 образ лежит на другой стороне от центра. Векторы OA и OA′ противоположно направлены, а расстояние от центра умножается на |k|.
|k| > 1
Увеличение и переход на другую сторону.
0 < |k| < 1
Уменьшение и переход на другую сторону.
k = −1
Те же размеры, поворот на 180° вокруг центра.
Четырёхугольник при k = −2 с центром в начале координат
Как считать без ошибок
Вычти координаты центра: найди вектор OA.
Умножь обе его координаты на k, включая знак.
Прибавь координаты O — получишь A′.
Пример: O = (1; 2), A = (3; 5), k = −2. OA = (2; 3), k·OA = (−4; −6), поэтому A′ = (−3; −4).
Углы и отношения соответствующих сторон сохраняются. Площадь умножается на k². Отрицательная гомотетия в плоскости сохраняет порядок обхода вершин, как поворот на 180° с изменением размеров.
При k = 0 все точки попали бы в центр: это вырожденное преобразование, его здесь не рассматриваем.